Golf in een buis

Published by admin on

Wanneer we een golf beschrijven dan kunnen we het beschouwen als een verandering in volume. Dit volume is afhankelijk van het oppervlakte en de beweging van de deeltjes. Wanneer we dit in een wiskundige vorm bekijken dan krijgen we vergelijking 1. Deze vergelijking geeft ons de verandering in volume van een ‘blokje’ lucht dat korten er langer kan worden, zie hiervoor het onderstaande figuur.

De verplaatsing van een golf in een tussenstof. In dit figuur bekijken we het oppervlak van de doorsnede tussen twee muren (s). \xi is de afstand die een ‘blokje’ lucht aflegt. dx is de dikte van het ‘blokje’ lucht en \frac{\partial \xi}{\partial x} dx is de uitzetting van het ‘blokje’over een afstand dx. (Onthoudt dat \frac{\partial \xi}{\partial x} de uitzetting is per lengte eenheid). De afbeelding is afkomstig uit .

(1)   \begin{equation*}\boxed{V+dV = S dx(1+\frac{\partial \xi}{\partial x})}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{dV}{Verandering in Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{S}{Oppervlakte van doorsnede}{\metre \squared}
\grootheid{dx}{Dikte van geïnspecteerde volume}{\metre}
\grootheid{\xi}{Verplaatsing van lucht tijdens het passeren van de golf}{\metre}
\grootheid{\frac{\partial{\xi}}{\partial x}}{Verplaatsing van lucht tijdens het passeren van de golf voor elke eenheid van lengte}{-}

We kunnen vergelijking 1 simpeler opschrijven omdat geldt dat V=S dx, de doorsnede over een afstand dx is immers gelijk aan het volume. We krijgen dan vergelijking 2.

(2)   \begin{equation*}V+dV = V(1+\frac{\partial \xi}{\partial x})\end{equation*}


Wanneer we aan beide kanten V wegdelen krijgen we een vergelijking voor de verandering in volume, zie vergelijking 5.

(3)   \begin{equation*}\frac{V+dV}{V} = \frac{V(1+\frac{\partial \xi}{\partial x})}{V}\end{equation*}


(4)   \begin{equation*}1+\frac{dV}{V} = 1+\frac{\partial \xi}{\partial x}\end{equation*}


(5)   \begin{equation*}\frac{dV}{V}=\frac{\partial \xi}{\partial x}\end{equation*}

Voor de stappen hierna hebben we de bulkmodus nodig, de bulkmodulus is de mate van van weerstand tegen de verandering in volume. Dit betekend dat een hoge bulkmodulus een stof beschrijft die moeilijk samen te persen is, dus er is meer druk nodig om de stof in gelijke mate te comprimeren.
We kunnen de bulkmodulus beschrijven doormiddel van vergelijking 6.

(6)   \begin{equation*}\boxed{K=-V \frac{dp}{dV}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{K}{Bulkmodulus}{\pascal}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{\frac{dp}{dV}}{Verandering van de druk per volumeeenheid}{\pascal \per \cubic \metre}

Vergelijking 6 is te herschrijven tot vergelijking 8.

(7)   \begin{equation*}KdV=-V dp\end{equation*}

(8)   \begin{equation*}dp=-K \frac{dV}{V}\end{equation*}


We kunnen nu vergelijking 8 en vergelijking 5 combineren tot vergelijking 9.

(9)   \begin{equation*}dp=-K \frac{\partial \xi}{\partial x}\end{equation*}

Volgens de tweede wet van Newton moet het kloppend zijn dat de druk gradiënt in de x-as gelijk is aan de massa vermenigvuldigd met de acceleratie, we krijgen dus vergelijking 16. We starten met het verschil in druk dp op een bepaald punt en de oppervlakte, deze geven samen de kracht op dat punt (tussen de twee punten waartussen dp geldt, dit is te zien in vergelijking 10. De min komt hier doordat de kracht tegengesteld is aan de richting van de stijging in dp.

(10)   \begin{equation*}\boxed{F = -dp\cdot S}\end{equation*}

Een zelfde vergelijking is de uitwerking van de kracht, dit is te zien in vergelijking 11, hierin is m de massa en \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} de versnelling van de massa.

(11)   \begin{equation*}F = m\cdot \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


De massa is in ons geval de massa van het “blokje” lucht, deze wordt gegeven door m=\rho \cdot V wat ons vergelijking 12 geeft.

(12)   \begin{equation*}F = \rho \cdot V \cdot \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


En zoals we al eerder hadden gebruikt kunnen we stellen dat het volume gelijk is aan V=S\cdot dx en dat we vergelijking 13

(13)   \begin{equation*}F = \rho \cdot S \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


Wanneer we nu vergelijking 13 en vergelijking 10 combineren, dan krijgen we vergelijking 14.

(14)   \begin{equation*}-dp\cdot S = \rho \cdot S \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


Dit kunnen we vereenvoudigen tot vergelijking 16, via onderstaande vergelijkingen.

(15)   \begin{equation*}-dp = \rho \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}

(16)   \begin{equation*}-\frac{\partial p}{\partial x}=\rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}

Wat er bij vergelijking 16 eigenlijk staat is dat de verandering in druk en de versnelling van het “blokje” lucht aan elkaar verbonden in door middel van die vergelijking.

We kunnen nu vergelijking 9 om schrijven door de afgeleide te nemen tot x naar vergelijking 17. Hierbij gebruiken we dat druk altijd over een verschil gaat tussen twee punten en dat we dp als p mogen schrijven.

(17)   \begin{equation*}\frac{\partial p}{\partial x}=-K \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\end{equation*}

Als we vervolgens vergelijking 16 combineren met vergelijking 17 tot vergelijking 18.

(18)   \begin{equation*}K\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}

We kunnen vergelijking 18 herschrijven naar vergelijking 19.

(19)   \begin{equation*}\frac{K}{\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}= \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}

Vervolgens kunnen we in vergelijking 19 de afgeleide nemen naar x, dit geeft ons vergelijking 20.

(20)   \begin{equation*}\frac{K}{\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial x}= \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \frac{\partial}{\partial x}\end{equation*}


En we kunnen van vergelijking 9 twee keer de afgeleide nemen naar t, dit geeft ons vergelijking 21. We gebruiken hier weer dat druk altijd over verschil gaat en dat dp hier dus als p wordt gebruikt.

(21)   \begin{equation*}\frac{\partial^2}{\partial t^2} p=-K \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\end{equation*}

We kunnen nu vergelijking 20 en vergelijking 21 aan elkaar gelijk stellen door te herkennen dat aan beide kanten de term \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} te vinden is, we krijgen nu vergelijking 22.

(22)   \begin{equation*}\frac{\partial^2}{\partial t^2} p=-\frac{K^2}{\rho}\frac{\partial^3 \xi}{\partial x^3}\end{equation*}


In vergelijking 22 is door omschrijving nu vergelijking 9 te herkennen in vergelijking 23.

(23)   \begin{equation*}\frac{\partial^2}{\partial t^2} p=\frac{K}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(-K \frac{\partial \xi}{\partial x})\end{equation*}


Door nu vergelijking 9 in te vullen in vergelijking 23 wordt vergelijking 24 gekregen.

(24)   \begin{equation*}\boxed{\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=\frac{K}{\rho}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{K}{Bulkmodulus}{\pascal}
\grootheid{\rho}{Dichtheid van het medium}{\kilo \gram \per \cubic \metre}
\grootheid{\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}}{Verandering van de druk per meter in het kwadraat}{\pascal \per \metre \squared}
\grootheid{\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}}{Verandering van de druk per seconde in het kwadraat}{\pascal \per \second \squared}

Om verder te kunnen gaan moeten we nu bepalen of we verdergaan in een isothermisch (temperatuur blijft gelijk) of adiabatisch (alle temperatuur wordt uitsluitend als arbeid over gedragen) proces. Het blijkt (uit metingen) dat geluid een adiabatisch proces is. We moeten daarom een versie hiervan afleiden. We starten met de verandering van totale energie in een systeem, hierbij maken we de aanname dat de verandering van energie in het systeem enkel wordt bepaald door arbeid en warmte, zie hiervoor vergelijking 25.

(25)   \begin{equation*}\boxed{dU = \delta W +\delta Q}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{U}{Totale energie in het systeem}{\joule}
\grootheid{W}{Arbeid}{\joule}
\grootheid{Q}{Toegevoegde warmte}{\joule}

We gebruiken nu dat arbeid wordt gegeven door kracht over afstand, dit gecombineerd met druk geeft ons vergelijking 26.

(26)   \begin{equation*}\boxed{\delta W = -p dV}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{W}{Arbeid}{\joule}
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}

We kunnen nu vergelijking 25, vergelijking 26 combineren tot vergelijking 27.

(27)   \begin{equation*}dU = -p_a dV +\delta Q\end{equation*}

Als we nu gebruiken dat bij een adiabatisch proces geen warmte overdracht is, kunnen we in vergelijking 27 stellen dat \delta Q = 0 en dan krijgen we vergelijking~28.

(28)   \begin{equation*}dU = -p_a dV\end{equation*}

De interne energie van een systeem wordt de enthalpie genoemd, dit wordt berekend doormiddel van vergelijking 29.

(29)   \begin{equation*}\boxed{H = U + p_aV}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{H}{Enthalpie}{\joule}
\grootheid{U}{Totale energie in het systeem}{\joule}
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}

Vanuit vergelijking 29 volgt automatisch dat de verandering in enthalpie wordt gegeven door vergelijking 30 (let op dat hier de verandering van zowel dV en dp wordt gebruikt vanuit de productregel fg'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)).

(30)   \begin{equation*}dH = dU + p_a dV + V dp_a\end{equation*}

Als we vergelijking 30 combineren met vergelijking 28, dan krijgen we vergelijking 31.

(31)   \begin{equation*}dH = -p_a dV + p_a dV + V dp_a\end{equation*}


Vergelijking 31 levert ons vervolgens vergelijking 32 op.

(32)   \begin{equation*}\boxed{dH = V dp_a}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{H}{Enthalpie}{\joule}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}

Wanneer we aannemen dat we met een ideaalgas te maken hebben kunnen we de volgende stellingen gebruiken. Ten eerste natuurlijk de ideale gaswet, vergelijking 33.

(33)   \begin{equation*}\boxed{p_a\cdot V = n\cdot R \cdot T}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{n}{aantal moleculen}{\mol}
\grootheid{R}{Gasconstante}{\joule \per \kelvin \per \mol}
\grootheid{T}{Temperatuur}{\kelvin}

Als we willen weten hoe deze met elkaar verhouden en zich verhouden tot de interne energie U, dan hebben we de vrijheidsgraden nodig (hoeveel beweging is er mogelijk) en delen we deze door twee (minimale hoeveelheid), we noemen dit \alpha, we krijgen dan vergelijking 34.

(34)   \begin{equation*}U = \alpha \cdot p_a\cdot V = \alpha \cdot n\cdot R \cdot T\end{equation*}


Nemen we de afgeleide van elke variabele in vergelijking 34, dan krijgen we vergelijking 35 (we gebruiken weer de product regel).

(35)   \begin{equation*}dU = \alpha \cdot n\cdot R \cdot dT = \alpha \cdot d(p_a\cdot V) = \alpha \cdot V \cdot dp_a + \alpha \cdot p_a \cdot dV\end{equation*}

In de literatuur wordt vergelijking 36 gebruikt, hierin is C_v de soortelijke warmte, wat samen met vergelijking 35 vervolgens vergelijking 37 geeft.

(36)   \begin{equation*}C_v = \alpha R\end{equation*}


(37)   \begin{equation*}dU = n\cdot C_v \cdot dT\end{equation*}

We kunnen nu vergelijking 35 invullen in vergelijking 28, we krijgen dan vergelijking 38.

(38)   \begin{equation*}\alpha \cdot (V \cdot dp_a + p_a \cdot dV) = -p_a dV\end{equation*}


Vergelijking 38 nu omschrijven tot vergelijking 39.

(39)   \begin{equation*}\alpha \cdot V \cdot dp_a = -(1+\alpha) p_a dV\end{equation*}


Vergelijking 39 delen door p_a \cdot V geeft vergelijking 40.

(40)   \begin{equation*}\alpha \cdot \frac{dp_a}{p_a} = -(1+\alpha) \frac{dV}{V}\end{equation*}


Als we nu beide kanten van vergelijking 40 integreren van V_0 naar V en van p_{a_0} naar p_a krijgen we vergelijking 43.

(41)   \begin{equation*}\integral{p_{a_0}}{p_a}\alpha \cdot \frac{1}{p_a} dp_a = \integral{V_0}{V} -(1+\alpha) \frac{1}{V} dV\end{equation*}


(42)   \begin{equation*}\alpha (\ln{p_a} - \ln{p_{a_0}}) = -(1+\alpha)(\ln{V}-\ln{V_0})\end{equation*}


(43)   \begin{equation*}\ln{\frac{p_a}{p_{a_0}}} = -(\frac{1+\alpha}{\alpha})(\ln{\frac{V}{V_0}})\end{equation*}


Als we van beide kanten van vergelijking 43 de exponent nemen, dan krijgen we vergelijking 46 (onthoudt hierbij dat b^x=e^{x \ln{b}}).

(44)   \begin{equation*}e^{(\ln{\frac{p_a}{p_{a_0}}})} = e^{(-(\frac{1+\alpha}{\alpha})(\ln{\frac{V}{V_0}}))}\end{equation*}


(45)   \begin{equation*}\frac{p_a}{p_{a_0}} = \frac{V}{V_0}^{-(\frac{1+\alpha}{\alpha})}\end{equation*}


(46)   \begin{equation*}\frac{p_a}{p_{a_0}} = \frac{V_0}{V}^{(\frac{1+\alpha}{\alpha})}\end{equation*}

In de literatuur is afgesproken dat \gamma = \frac{1+\alpha}{\alpha} de warmte capaciteits verhouding wordt genoemd, we krijgen dan vergelijking 47.

(47)   \begin{equation*}\frac{p_a}{p_{a_0}} = \frac{V_0}{V}^\gamma\end{equation*}

Uit vergelijking 47 volgt vervolgens vergelijking 49.

(48)   \begin{equation*}\frac{p_a}{p_{a_0}} \cdot \frac{V}{V_0}^\gamma = 1\end{equation*}


(49)   \begin{equation*}p_a\cdot V^\gamma = p_{a_0} \cdot V_0^\gamma = constant\end{equation*}

En hiermee kunnen we terug naar onze situatie in vergelijking 24 en dan stellen we eerst dat vergelijking 49 resulteert in vergelijking 50.

(50)   \begin{equation*}\boxed{p_a\cdot V^\gamma = constant}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}
\grootheid{V}{Volume}{\cubic \metre}
\grootheid{\gamma}{warmte capaciteits verhouding}{-}

Als we de natuurlijke logaritme nemen van vergelijking 50 dan krijgen we vergelijking 51.

(51)   \begin{equation*}\ln{(p_a\cdot V^\gamma)} = \ln{p_a} + \ln{V^\gamma} = \ln{p_a} + \gamma \ln{V} = constant\end{equation*}

Wanneer we de afgeleide naar V nemen in vergelijking 51 dan krijgen we vergelijking 52(onthoudt dat de afgeleide van een constante altijd 0 is).

(52)   \begin{equation*}\ln{(p_a)}\frac{d}{dV} + \gamma \ln{V} \frac{d}{dV} = 0\end{equation*}


Als we gebruiken dat \ln{f(x)}\frac{d}{dx}=\frac{f(x) \frac{d}{dx}}{f(x)}, dan geeft vergelijking 52 on vergelijking 53.

(53)   \begin{equation*}\frac{p_a\frac{d}{dV}}{p_a} + \frac{\gamma}{V} = 0\end{equation*}

Vervolgens vullen we in vergelijking 53 de waarde van p in uit vergelijking 8, we krijgen dan vergelijking 55.

(54)   \begin{equation*}\frac{-K \frac{dV}{V}\frac{d}{dV}}{p_a} + \frac{\gamma}{V} = 0\end{equation*}


(55)   \begin{equation*}\frac{-K}{p_a V} + \frac{\gamma}{V} = 0\end{equation*}

Vergelijking 55 is om te schrijven tot vergelijking 58.

(56)   \begin{equation*}\frac{-K}{p_a} + \gamma = 0\end{equation*}


(57)   \begin{equation*}\gamma = \frac{K}{p_a}\end{equation*}


(58)   \begin{equation*}\boxed{K = \gamma p_a}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{K}{Bulkmodulus}{\pascal}
\grootheid{\gamma}{warmte capaciteits verhouding}{-}
\grootheid{p_a}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}

We kunnen vergelijking 58 nu invullen in vergelijking 24, dit geeft ons vergelijking 59.

(59)   \begin{equation*}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=\frac{\gamma p_a}{\rho}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\end{equation*}

Wanneer we afspreken dat we vergelijking 60 klopt, dan kunnen we vergelijking 59 herschrijven naar vergelijking 61.

(60)   \begin{equation*}c^2\equiv \frac{K}{\rho} = \frac{\gamma \cdot p_a}{\rho}\end{equation*}

(61)   \begin{equation*}\boxed{\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Geluidsdruk}{\pascal}
\grootheid{c}{Geluidssnelheid in medium}{\metre \per \second}
\grootheid{\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}}{Verandering van de druk per meter in het kwadraat}{\pascal \per \metre \squared}
\grootheid{\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}}{Verandering van de druk per seconde in het kwadraat}{\pascal \per \second \squared}

Een oplossing voor vergelijking 61 kan worden gevonden in vergelijking 62, wanneer er volgens vergelijking 61 wordt gedifferentieerd is de vergelijking kloppend.
Hierbij is f_1 (x-ct) een golf die in de positieve x-richting beweegt en f_2 (x+ct) een golf die in de negatieve x-richting beweegt.

(62)   \begin{equation*}p(x,t)=f_1(x-ct)+f_2(x+ct)\end{equation*}

Vergelijking 62 geeft ons nog geen waarde voor de functies f_1 en f_2 maar om ze zowel differentieerbaar naar t als naar x te laten zijn en te laten voldoen aan vergelijking 62. Het is ook logisch om te gebruiken dat het hier om een golf gaat, we gebruiken daarom sinussen en cosinussen en vinden vervolgens vergelijking 64.We gebruiken hiervoor dat we niet precies weten wat f_1 en f_2 is maar dat het repeterend moet zijn en bestaat uit een sinus en een cosinus functie. Ook gebruiken we k wat het golfgetal wordt genoemd, k=\frac{omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda} en geeft het aantal golven per meter aan. A,B,C en D zijn factoren voor de grote van de golf.

(63)   \begin{equation*}p(x,t)=A\sin{\frac{\omega}{c}(ct-x)}+B\cos{\frac{\omega}{c}(ct-x)}+C\sin{\frac{\omega}{c}(ct+x)}+D\cos{\frac{\omega}{c}(ct+x)}\end{equation*}


(64)   \begin{equation*}p(x,t)=A\sin{(\omega t-kx)}+B\cos{(\omega t-kx)}+C\sin{(\omega t+kx)}+D\cos{(\omega t+kx)}\end{equation*}


Het is gebruikelijk om vergelijking 64 te herschrijven als complexe functie, je krijgt dan vergelijking 65.

(65)   \begin{equation*}\boxed{p(x,t)=Ae^{i(\omega t-kx)}+Be^{i(\omega t + kx)}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Geluidsdruk}{\pascal}
\grootheid{k}{Golfgetal}{\per \metre}
\grootheid{t}{Tijd}{\second}
\grootheid{x}{Locatie}{\meter}
\grootheid{A}{Factor van golf}{-}
\grootheid{B}{Factor van golf}{-}

We kunnen vergelijking 65 gebruiken in vergelijking 16, we gaan in vergelijking 65 uit van een golf die in de +x richting beweegt (dus A=1 en B=0)we krijgen dan vergelijking 70. Omdat we de as bij een enkele golf vrij kunnen kiezen gaan we hier mee verder.

(66)   \begin{equation*}-\frac{\partial p(x,t)}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x} e^{i(\omega t-kx)}=\rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


(67)   \begin{equation*}ik e^{i(\omega t-kx)}=\rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\end{equation*}


(68)   \begin{equation*}\int ik e^{i(\omega t-kx)} dt=\int \rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} dt\end{equation*}


(69)   \begin{equation*}\frac{k e^{i(\omega t-kx)}}{\omega} =\rho \frac{\partial \xi}{\partial t}\end{equation*}


(70)   \begin{equation*}k p =\rho \omega \frac{\partial \xi}{\partial t}\end{equation*}

We gaan nu gebruik maken van u = \frac{\partial \xi}{\partial t} dit is namelijk de akoestische snelheid (de snelheid van de deeltjes), we gebruiken ook dat we het golfgetal k hebben benoemd, dit wordt gegeven door k=\frac{\omega}{c}. We krijgen zo uit vergelijking 70 vergelijking 72.

(71)   \begin{equation*}\frac{\omega}{c} p =\rho \omega u\end{equation*}

(72)   \begin{equation*}\frac{p}{u} =\rho c\end{equation*}

Als we kijken naar vergelijking 72 dan valt op dat de dichtheid (\rho) en de snelheid van het geluid (c) eigenschappen zijn van de tussenstof, we definiëren dit als de akoestische impedantie van de tussenstof (z), zie hiervoor vergelijking 73. De akoestisch impedantie geeft het verband aan tussen het volume van de vloeistof per seconde en de druk.

(73)   \begin{equation*}\boxed{z \equiv \frac{p}{u} =\rho c}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{z}{Akoestische impedantie}{\pascal \second \per \cubic \meter}
\grootheid{p}{Gemiddelde druk in de atmosfeer}{\pascal}
\grootheid{u}{Akoestische snelheid}{ \cubic \meter \per \second}
\grootheid{\rho}{Dichtheid}{\kilo \gram \per \cubic \metre}
\grootheid{c}{geluidssnelheid}{\meter \per \second}

De geluidssnelheid c is blijkbaar belangrijk, onthoudt dat we deze hebben gedefinieerd als c=\sqrt{\frac{K}{\rho}} in vergelijking 60. Als we aannemen dat lucht zicht gedraagt als een ideaal gas, dan kunnen we weer de ideale gaswet gebruiken, deze is al eerder gegeven in vergelijking 33. Wanneer we dit delen door het volume (V) en het aantal Mol herschrijven naar de massa gedeeld door de Molmassa (M) dan krijgen we vergelijking 75.

(74)   \begin{equation*}p_a\cdot V = n\cdot R \cdot T = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T\end{equation*}

(75)   \begin{equation*}p_a =\rho \frac{RT}{M}\end{equation*}

Uit vergelijking 60 blijkt dat we de dichtheid ook kunnen schrijven als vergelijking 76.

(76)   \begin{equation*}\rho = \frac{\gamma p_a}{c^2}\end{equation*}


Als we vervolgens vergelijking 76 invullen in vergelijking 75 dan vinden we vergelijking 77.

(77)   \begin{equation*}p_a =\frac{\gamma p_a}{c^2} \frac{RT}{M}\end{equation*}


Als we p_a aan beide kanten wegdelen en de snelheid naar de andere kant halen en de wortel trekken krijgen we vervolgens vergelijking 78.

(78)   \begin{equation*}\boxed{ c=\sqrt{\gamma\frac{RT}{M}}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{c}{Geluidssnelheid in medium}{\metre \per \second}
\grootheid{\gamma}{warmte capaciteits verhouding}{-}
\grootheid{R}{Gasconstante}{\joule \per \kelvin \per \mol}
\grootheid{T}{Temperatuur}{\kelvin}
\grootheid{M}{Molmassa}{\gram \per \mol}

We kunnen vergelijking 78 bruikbaarder maken door binnen de wortel te vermenigvuldigen met \frac{T_0}{T_0} en vervolgens alles om te schrijven naar vergelijking 82.

(79)   \begin{equation*}c(T)=\sqrt{\gamma\frac{RT}{M} \cdot \frac{T_0}{T_0}}\end{equation*}


(80)   \begin{equation*}c(T)=\sqrt{\gamma\frac{RT_0}{M} \cdot \frac{T}{T_0}}\end{equation*}


(81)   \begin{equation*}c(T)=\sqrt{\gamma\frac{RT_0}{M}} \cdot \sqrt{\frac{T}{T_0}}\end{equation*}


(82)   \begin{equation*}\boxed{c(T) = c(T_0) \cdot \sqrt{\frac{T}{T_0}}}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{c(T)}{Geluidssnelheid in medium bij temperatuur T}{\metre \per \second}
\grootheid{c(T_0)}{Geluidssnelheid in medium bij temperatuur waarop T0 gemeten is}{\metre \per \second}
\grootheid{T}{Temperatuur}{\kelvin}
\grootheid{T_0}{Temperatuur waarop c(T0) is gemeten}{\kelvin}

We kunnen nu gebruikmaken van vergelijking 73 en dit combineren met vergelijking 82 om vergelijking 83 te krijgen.

(83)   \begin{equation*}z = \frac{p}{u} =\rho c(T_0) \cdot \sqrt{\frac{T}{T_0}}\end{equation*}

We hebben nu een mogelijkheid om de impedantie van de lucht te bepalen, als we de temperatuur en de dichtheid weten van de lucht. Deze is afhankelijk van verschillende factoren en kan in tabellen boeken gevonden worden.
Onze vergelijking in vergelijking 61 is in een enkele dimensie maar kan in een driedimensionale ruimte worden gedefinieerd als vergelijking 84.

(84)   \begin{equation*}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 p\end{equation*}

Wanneer we ervan uitgaan (zoals we eerder al deden) dat de tijdsafhankelijkheid gegeven wordt door een vergelijking zoals e^{i\omega t} en we er dus va uitgaan dat de golf in de x-richting zal bewegen (dus A=1 en B=0) dan kunnen we vergelijking 84 herschrijven naar vergelijking 91. We moeten dan wel eerst de druk uit vergelijking 65 hervergelijkingren zoals te zien in vergelijking~85.

(85)   \begin{equation*}p(x,t)=Ae^{i(\omega t-kx)}+Be^{i(\omega t + kx)}=e^{i(\omega t-kx)}\end{equation*}

Als we in vergelijking 84 nu onze in vergelijking 85 gevonden waarde voor de druk invullen dan vinden we vervolgens vergelijking 91 (onthoudt dat k=\frac{\omega}{c}).

(86)   \begin{equation*}\frac{\partial^2 e^{-ik x} e^{i \omega t}}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 p\end{equation*}


(87)   \begin{equation*}\frac{\partial i \omega e^{-ik x} e^{i \omega t}}{\partial t}=c^2 \nabla^2 p\end{equation*}


(88)   \begin{equation*} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \omega^2 e^{-ik x} e^{i \omega t}=c^2 \nabla^2 p\end{equation*}


(89)   \begin{equation*}-\frac{\omega^2}{c^2} e^{-ik x} e^{i \omega t}=\nabla^2 p\end{equation*}


(90)   \begin{equation*}-k^2 p=\nabla^2 p\end{equation*}


(91)   \begin{equation*}\boxed{0 =\nabla^2 p + k^2 p}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Geluidsdruk}{\pascal}
\grootheid{k}{Golfgetal}{\per \metre}

Voor de meeste gevallen is het nuttig om het geluid in een ander coördinaten stelsel om te zetten, dat is vrij makkelijk te doen door deze vergelijking (Helmholtz vergelijking) om te schrijven naar een ander stelsel doormiddel van een coördinaten transformatie. Deze zijn vrij makkelijk te vinden op internet en in verschillende boeken, we gaan er dan ook niet dieper op in hoe deze transformaties worden omgeschreven, neem deze daarom voor waar aan.
De makkelijkste en minst complexe coördinatenstelsel is het Cartesische coördinatenstelsel(figuur hieronder), dit heeft drie assen die we direct kunnen meten met een meetlint, we krijgen dan voor \nabla^2p vergelijking 92.

(92)   \begin{equation*}\nabla^2 p = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial z^2}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{x}{Coördinaat op de x-as}{\meter}
\grootheid{y}{Coördinaat op de y-as}{\meter}
\grootheid{z}{Coördinaat op de z-as}{\meter}

Het gebruik van het cartesisch coördinatenstelsel is niet altijd handig, wil je bijvoorbeeld een buis beschrijven op de x,y,z-assen dan wordt het heel moeilijk. We spreken dan meestal van een doorsnede (r) en een lengte (z), dit wordt het cylindrischcoördinatenstelsel genoemd (zie figuur hieronder). Als we \nabla^2p hiernaar omschrijven, dan vinden we vergelijking 93.

(93)   \begin{equation*}\nabla^2 p = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial p}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{p}}{\partial \phi^2}+\frac{\partial ^2 p}{\partial z^2}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{r}{Afstand tot het midden van de cilinder}{\meter}
\grootheid{\phi}{Hoek}{\radian}
\grootheid{z}{Coördinaat op de z-as}{\meter}

Het is ook handig om de vergelijking uit te schrijven vanuit een punt en daar een afstand van. Je hebt vast zelf weleens gemerkt dat hoe verder je van een bron afstaat hoe minder geluid hard het geluid lijkt te klinken. We gebruiken hiervoor bolcoördinaten of poolcoördinaten (zie figuur hieronder), hiermee beschrijf je alles op een oppervlakte van een bol heel gemakkelijk (dus eigenlijk alles op het oppervlakte van de aarde). De geluidsbron staat dan in het midden van de bol. Hiermee kunnen we voor \nabla^2p omschrijven naar vergelijking 94.

(94)   \begin{equation*}\nabla^2 p = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial p}{\partial r})+\frac{1}{r^2 \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta} \frac{\partial p}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2 \sin{\theta}}\frac{\partial^2 p}{\partial \phi^2}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{r}{Afstand tot het midden van de cilinder}{\meter}
\grootheid{\theta}{Hoek}{\radian}
\grootheid{\phi}{Hoek}{\radian}

Binnen in de drones is het het beste om de cilindrische coördinaten te gebruiken, dit komt hoofdzakelijk omdat de drones een cilindrische vorm hebben. We gebruiken daarom het coördinaten stelsel uit de figuur en gebruiken vergelijking 93. Vergelijking 91 krijgt dan de vorm van vergelijking 95.

(95)   \begin{equation*}\boxed{0 =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial p(r,\phi,z)}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{p(r,\phi,z)}}{\partial \phi^2}+\frac{\partial ^2 p(r,\phi,z)}{\partial z^2} + k^2 p(r,\phi,z)}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{r}{Afstand tot het midden van de cilinder}{\meter}
\grootheid{\phi}{Hoek}{\radian}
\grootheid{z}{Coördinaat op de z-as}{\meter}

Categories: natuurkunde

0 Comments

Leave a Reply

Avatar placeholder

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Related Posts

natuurkunde

Golfvergelijking in een cylinder

We hebben de golfvergelijking nu op verschillende manieren kunnen uitschrijven en we gaan nu kijken hoe dit zich in een buis gedraagt. We gebruiken hiervoor eerst onze beschrijving van de drukgolf in vergelijking 1 maar Read more