Golfvergelijking in een cylinder

Published by admin on

We hebben de golfvergelijking nu op verschillende manieren kunnen uitschrijven en we gaan nu kijken hoe dit zich in een buis gedraagt. We gebruiken hiervoor eerst onze beschrijving van de drukgolf in vergelijking 1 maar geven hierin aan dat we een waarde van p gebruiken, deze waarde geeft de maximale druk aan (we vermenigvuldigen de golf met de maximale waarde van de druk). Deze vergelijking hebben we in een ander onderdeel al afgeleid.

(1)   \begin{equation*}p(x,t)=Ae^{i(\omega t-kx)}+Be^{i(\omega t + kx)}=e^{i(\omega t-kx)}\end{equation*}

Een drukgolf die door een buis beweegt (in de x-richting) kun je beschrijven (als functie van de tijd) door vergelijking 2.

(2)   \begin{equation*}p(x,t)=p_0\cdot e^{i(-kx+\omega t)}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{p_0}{maximale grote van de druk}{\pascal}
\grootheid{k}{Golfnummer}{\radian \per \metre}
\grootheid{x}{Locatie op de x-as}{\metre}
\grootheid{\omega}{Hoeksnelheid}{\radian \per \second}
\grootheid{t}{Tijd}{\second}

We kunnen ook het akoestische volume die door de buis stroomt uitrekenen door gebruik te maken van vergelijking 3, uit een ander deel.

(3)   \begin{equation*}k p =\rho \omega \frac{\partial \xi}{\partial t}\end{equation*}

Deze kunnen we omschrijven naar een waarde voor de verplaatsing van de lucht (\frac{\partial \xi}{\partial t}), we krijgen van vergelijking 4.

(4)   \begin{equation*}\frac{k p}{\rho \omega} = \frac{\partial \xi}{\partial t}\end{equation*}

Omdat we niet geïnteresseerd zijn in de lengte maar het volume van de lucht per seconde (we noemen deze u) vermenigvuldigen we de lengte van de lucht met de doorsnede van de buis S, dan geeft vergelijking 4 ons vergelijking 5.

(5)   \begin{equation*}\frac{S k p}{\rho \omega} = S \cdot \frac{\partial \xi}{\partial t}=u\end{equation*}

Wanneer we gebruiken dat k=\frac{\omega}{c} en we gebruiken vergelijking 2 in vergelijking 5, dan krijgen we vergelijking 6.

(6)   \begin{equation*}U(x,t) = \frac{S p_0}{\rho c} e^{i(-kx+\omega t)}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{U(x,t)}{Volumestroom als functie van tijd en plaats}{\cubic \metre \per \second}
\grootheid{S}{Oppervlakte van doorsnede}{\square \metre}
\grootheid{p_0}{Maximale druk in de golf}{\pascal}
\grootheid{\rho}{Dichtheid van het medium}{\kilo \gram \per \cubic \metre}
\grootheid{c}{Snelheid van geluid in medium}{\metre \per \second}

Wanneer we gebruik maken van vergelijking 7, ook uit een vorig deel, dan is het mogelijk om de impedantie van de buis te bepalen, deze is gegeven in vergelijking 8.

(7)   \begin{equation*}\boxed{z \equiv \frac{p}{u} =\rho c}\end{equation*}


(8)   \begin{equation*}Z(x)=\frac{p}{u}\end{equation*}


We kunnen nu vergelijking 2 en vergelijking 6 invullen in vergelijking 8, dit geeft ons vergelijking 10.

(9)   \begin{equation*}Z(x)=\frac{p_0\cdot e^{i(-kx+\omega t)}}{\frac{S p_0}{\rho c} e^{i(-kx+\omega t)}}\end{equation*}


(10)   \begin{equation*}Z(x)=\frac{\rho c}{S}\end{equation*}


Waarin:
\grootheid{Z(x)}{Impedantie als functie van de plaats}{\pascal \second \per \cubic \metre}
\grootheid{\rho}{Dichtheid van het medium}{\kilo \gram \per \cubic \metre}
\grootheid{c}{Snelheid van geluid in medium}{\metre \per \second}
\grootheid{S}{Oppervlakte van doorsnede}{\square \metre}

We kunnen nu in de eerder gevonden vergelijking 11 onze gevonden waarde voor vergelijking 12 invullen. We vinden dan vergelijking 13.

(11)   \begin{equation*}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 p\end{equation*}

(12)   \begin{equation*}\nabla^2 p = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial p}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{p}}{\partial \phi^2}+\frac{\partial ^2 p}{\partial z^2}\end{equation*}

(13)   \begin{equation*}\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial p}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{p}}{\partial \phi^2}+\frac{\partial ^2 p}{\partial z^2}\end{equation*}

Helaas lopen we hier een beetje vast. Het oplossen van deze differentiaal vergelijking is nog niet zo makkelijk. Gelukkig is er aan oplossing gevonden, deze gaan we voor waar aannemen . De oplossing neemt de vorm aan van de Bessel-functie gecombineerd met een verder deel (onze eerder gevonden vergelijking 2. We vinden dan vergelijking~14.

(14)   \begin{equation*}p_{n,m}(r,\phi, z) = p^{cos}{sin}(m\phi)\cdot J_m(\frac{\pi q{mn} r}{a}) e^{i(-k_{mn} z + \omega t)}\end{equation*}

Waarin:
\grootheid{c}{Geluidssnelheid}{\meter \per \second}
\grootheid{p}{Druk}{\pascal}
\grootheid{J}{Bessel functie}{-}
\grootheid{t}{Tijd}{\second}
\grootheid{r}{Afstand tot het midden van de cilinder}{\meter}
\grootheid{\omega}{Hoeksnelheid}{\per \second}
\grootheid{m}{integer waarde}{-}
\grootheid{n}{integer waarde}{-}
\grootheid{a}{maximale waarde van r}{\metre}
\grootheid{k}{golfgetal}{\per \metre}
\grootheid{\phi}{Hoek}{\radian}
\grootheid{z}{Coördinaat op de x-as}{\meter}

De Besselfunctie J wordt beschreven door vergelijking 15.

(15)   \begin{equation*} J_\alpha=\mathlarger{\mathlarger{\sum}}_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma (m+\alpha+1)}(\frac{x}{2})^{2m+\alpha}\end{equation*}

Hierin is de gamma functie \Gamma opgenomen, deze kan worden geschreven zoals in vergelijking 16.

(16)   \begin{equation*}\Gamma(n) = (n-1)!\end{equation*}

Dit geeft ons een Bessel functie zoals in vergelijking 17.

(17)   \begin{equation*} J_\alpha(x)=\mathlarger{\mathlarger{\sum}}_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+\alpha)!}(\frac{x}{2})^{2n+\alpha}\end{equation*}


We kunnen deze Bessel functie weergeven voor enkele waarden van \alpha. De eerste drie Besselvergelijkingen zijn te zien in de onderstaande afbeelding.

Er zijn hier verschillende uitkomsten voor de Besselvergelijkingen gegeven voor een waarde van x.

Hieruit is te zien dat de vergelijking repeteert wanneer x groter wordt.

Als we in vergelijking 17 invullen dat x=\frac{\pi q_{mn} r}{a} (uit vergelijking 14 dan vinden we vergelijking 18.

(18)   \begin{equation*} J_\alpha(\frac{\pi q_{mn} r}{a})=\mathlarger{\mathlarger{\sum}}{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+\alpha)!}(\frac{\pi q{mn} r}{2a})^{2n+\alpha}\end{equation*}


Omdat we hebben gesteld dat op r=a moet gelden dat \frac{\partial p}{\partial r} = 0 moet gelden dat J'm (\pi q{mn}) = 0. We kiezen daarom voor elke waarde van J_m een waarde van q_mn zodat dit geldt.

Combineren we de nieuwe waarde van x in de gevonden waardes van onderstaande afbeelding dan zien we dat als \frac{\pi q_{mn} r}{a} groter wordt dat de waarde van J_\alpha kleiner wordt maar deze steeds rouleert. Ook is te zien dat op alle waarden anders dan 0, de waarde van J_\alpha gelijk is aan 0 wanner \frac{\pi q_{mn} r}{a} gelijk is aan 0. We hebben daarnaast gebruikt dat op \frac{\partial p}{\partial r} = 0 op r=a, daarom is de afgeleide J'(\pi q_{mn}) ook gelijk aan 0.

Als we vergelijking 14 invullen gebruikmakend van onze randvoorwaarden dan vinden we de volgende eigenwaardes (waarbij aan de voorwaarden wordt voldaan). Deze worden bepaald door de waardes van m en n en daarmee door een patroon van r en \theta. Hierbij valt op te merken dat als \theta = 0 (dus bij n=0 er geen afhankelijkheid is van de hoek en er dus een volledig symmetrisch patroon gevonden zal worden ongeacht de waarde van r, in alle andere gevallen zal de waarde van p^{cos}{sin}(m \theta) invloed hebben op de uitkomst van de vergelijking (als of m of \theta gelijk is aan 0 is er geen afhankelijkheid van de hoek). In de onderstaande afbeelding kun je drie verschillende druk patronen vinden die volgen uit vergelijking 14.

Druk en flow patronen in een cylindrische buis, hier is een dwarsdoorsnede zichtbaar voor (m,n). Afbeelding afkomstig uit .

Combineren substitueren we vergelijking 14 in vergelijking 13 dan krijgen we vergelijking 19.

(19)   \begin{equation*} k^2{mn} = (\frac{\omega}{c})^2 - (\frac{\pi q_{mn}}{a})^2\end{equation*}


We zien hier dat als een vergelijking m=n=0 geldt we vinden dat k=\frac{\omega}{c} en dat deze dus altijd doorgaat zoals deze in het begin van de buis gaat. (onthoudt dat als k deze waarde aanneemt de golfvergelijking afhankelijk is van z). Als deze waarde niet bestaat of kleiner wordt dan zal de snelheid van de golf niet gelijk zijn aan de snelheid van het geluid.

Uit vergelijking 19 volgt na omschrijven direct ook vergelijking 20.

(20)   \begin{equation*}\omega_c = \frac{\pi q_{mn} c}{a}\end{equation*}

Waarin:
\grootheid{\omega_c}{critische popagatie waarde}{\per \second}
\grootheid{q_{mn}}{Mode uit de Besselfunctie}{-}
\grootheid{c}{geluidssnelheid}{\metre \per \second}
\grootheid{a}{straal van de cylinder}{\metre}

Hieruit volgt dat een golf met een kleinere hoekfrequentie dan deze waarde geen oplossing (ofwel een complexe oplossing) leveren en daarom geen reële oplossing geven voor de vergelijking. Daarom zal er in die gevallen geen golf worden gevormd in de buis.

Categories: natuurkundeUncategorized

0 Comments

Leave a Reply

Avatar placeholder

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Related Posts

natuurkunde

Golf in een buis

Wanneer we een golf beschrijven dan kunnen we het beschouwen als een verandering in volume. Dit volume is afhankelijk van het oppervlakte en de beweging van de deeltjes. Wanneer we dit in een wiskundige vorm Read more

Uncategorized

Fat son how smiling natural

To shewing another demands sentiments. Marianne property cheerful informed at striking at. Clothes parlors however by cottage on. In views it or meant drift to. Be concern parlors settled or do shyness address.  He always Read more

Uncategorized

Can curiosity may end shameless explained

Way nor furnished sir procuring therefore but. Warmth far manner myself active are cannot called. Set her half end girl rich met. Me allowance departure an curiosity ye. In no talking address excited it conduct. Read more